セミリタイアを目指す理由 ジャネーの法則編 発展Ver

前回の記事の続きです。

前回の記事ではジャネーの法則(時間の心理的長さは年齢の逆数に比例する)を仮定すると年をとればとるほど体感時間の積み重ねはゆっくりになる(体感時間の積み重ねは年齢に比例しない)ことを示しました。しかしそもそもジャネーの法則は体感時間の合計が年齢に比例することを根拠にしていると考えています。だからこそ時間の心理的長さが年齢(∝体感時間)に反比例するという法則が成り立っているはずです。

「時間の心理的長さは(年齢ではなく)体感時間の合計の逆数に比例(体感時間の合計に反比例)する」というのをジャネーの法則の発展Verとします。

ジャネーの法則発展Verを式で表すと以下のようになります。

$$ (1)  \quad f(x)=\frac{A}{F(x)} $$

ここでxは年齢、f(x)はx才における時間の心理的長さ、F(x)はx才における体感時間の合計、Aは定数です。

体感時間の合計F(x)は0才からの時間の心理的長さf(x)を積み重ねたもの(積分)で表すことができるので、f(x)とF(x)には以下の関係があります。

$$  \quad F(x)={\int_{0}^{x}f(t)dt} $$

両辺をxで微分して

$$  (2) \quad F'(x)=f(x) $$

(2)式を(1)式に代入して

$$ (3)  \quad F'(x)=\frac{A}{F(x)} $$

(3)式を解いてF(x)を求めます。

$$ (3)  \quad F'(x)=\frac{A}{F(x)} $$

$$ \Leftrightarrow \quad F'(x)F(x)=A $$

$$ \Leftrightarrow \quad \left(\frac{1}{2}\left(F(x)\right)^2\right)’=A $$

両辺をxで積分して

$$ \Leftrightarrow  \quad \frac{1}{2}\left(F(x)\right)^2=Ax+C $$

(Cは積分定数)

$$ \Leftrightarrow  \quad F(x)=\pm \sqrt{2Ax+2C} $$

ここでF(x)の定義より明らかにF(x)≧0なので

$$ \Rightarrow  \quad F(x)=\sqrt{2Ax+2C} $$

F(x)はx才のときの体感時間の合計を表しているので、F(0)=0(0才の時の体感時間の合計は0)です。F(0)=0より

$$ \Rightarrow  \quad \sqrt{2C}=0$$

$$ \Leftrightarrow  \quad C=0$$

よってF(x)、f(x)はそれぞれ以下の(4)式、(5)式で表されます。

$$(4)  \quad F(x) = \sqrt{2Ax}$$

$$(5)  \quad f(x) = F'(x) = \sqrt{\frac{A}{2x}}$$

これで計算完了です。x才での体感時間の合計F(x)と時間の心理的長さf(x)をxの関数で表すことができました。(4)式と(5)式より(1)式 f(x)=A/F(x)が成り立つことも検算済みです。

「時間の心理的長さは体感時間の合計の逆数に比例(体感時間の合計に反比例)する」というジャネーの法則の発展Verを仮定すると時間の心理的長さは年齢の平方根に反比例することが(5)式から分かります。(5)式をグラフにすると下図の赤線のようになります。

年齢と体感時間の長さ_発展Ver

青で表されているのがジャネーの法則、赤で表されているのが今回のジャネーの法則の発展Verです。両方とも40才の時にf(x)=1となるよう規格化しています。グラフを見れば分かるようにジャネーの法則の発展Verのほうが体感時間の心理的長さの変化はゆるやかです。

では前回の記事同様に亡くなるまでに感じる時間の長さのちょうど半分の長さを体感する年齢を求めます。

80才で亡くなるとして人生の半分の長さを体感する年齢をy才とおきます。その時yに関して

$$ (6) \quad  F(y) = \frac{1}{2}F(80)$$

が成り立ちます。(6)式に(4)式を代入して

$$\Rightarrow \sqrt{2Ay} = \frac{1}{2}\sqrt{2A\times80}$$

$$ \Leftrightarrow y = 20 $$

以上より20才が主観的な人生の長さの折り返し地点ということになります。前回の記事の結果と同じ結論です。やはり早いですね。一般化すると寿命をz才として折り返し地点の年齢yは(6)式よりy=z/4(zの4分の1)と導かれます。

80才までに感じる時間の長さの合計を1(100%)としたときに現在の年齢で何%が過ぎたのかをプロットしました。

年齢と体感時間の長さの合計_発展Ver_比較

青で表されているのがジャネーの法則、赤で表されているのが今回のジャネーの法則の発展Verです。ジャネーの法則ではF(x)が発散してしまうのを防ぐために0才~5才の記憶がない(0≦x≦5でF(x)=0)という仮定をしましたが、発展Verではそのような無理な仮定を置く必要は無くx≧0でF(x)は0より大きい有限の値を持ちます。

数値は以下の通りです。

年齢

体感時間の合計

 

年齢

体感時間の合計

20 50%   55 82,9%
25 55,9%    60 86,6%
30 61,2%    65 90,1%
35 66,1%    70 93,5%
40 70,7%    75 96,8%
45 75%    80 100%
50 79,1%      

さらに前回同様自分の人生が体感で何年残っているかも算出してみました。これまでの人生の長さに対してあとどれだけ体感で寿命が残っているかです。ここでは残体感寿命と名づけます。寿命を80才として例えば20才の方なら0才~20才の体感時間合計と20才~80才の体感時間合計が等しいので体感であと20年(!)しか残っていないことになります。年齢ごとの残体感寿命は以下の通りです。

年齢

残体感寿命

 

年齢

残体感寿命

20 20年   55 11,3年
25 19,7年    60 9,3年
30 19年    65 7,1年
35 17,9年    70 4,8年
40 16,6年    75 2,5年
45 15年    80 0年
50 13,2年      

やはり前回同様あまりにも残体感寿命は短いです。

人生って本当に短いんですね。。

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